星座的數學基礎
2026-08-06。數值驗證由 Claude 協助。 路線：球極投影把 $S^2$ 送到 $\mathbb C$，理論全部在複平面上做，最後回到真實世界地圖與真實出生時地。
1. 設定
1.1. $\mathbb R^3$ 取右手正交標架 $(e_1,e_2,e_3)$，$S^2=\{|q|=1\}$。 赤道面 $\{q_3=0\}$ 等同於 $\mathbb C$：$(q_1,q_2,0)\leftrightarrow z=q_1+iq_2$。
1.2 定義（球極投影）. $\pi(q):=$ 連 $e_3$ 與 $q$ 的直線和赤道面的交點。
推導. 直線 $L(u)=e_3+u(q-e_3)$ 的第三分量為零給 $u=\frac1{1-q_3}$：
$$\pi(q)=\frac{q_1+iq_2}{1-q_3},\qquad \pi^{-1}(z)=\frac{\big(2x,\ 2y,\ |z|^2-1\big)}{|z|^2+1}$$
（逆映射：$L(u)=(ux,uy,1-u)$ 交 $S^2$ 給 $u=\frac2{|z|^2+1}$。）$\pi$ 是雙射。
1.3 定義（經度 $\theta$、餘緯度 $\varphi$）. $p\neq\pm e_3$： $\theta(p):=\arg(p_1+ip_2)$，$\varphi(p):=\arccos\langle p,e_3\rangle\in(0,\pi)$。 逆：$p=(\sin\varphi\cos\theta,\ \sin\varphi\sin\theta,\ \cos\varphi)$。
1.4 定義（大圓）. $\Gamma_m:=\{q\in S^2:\langle q,m\rangle=0\}$，$m\in S^2$。$\Gamma_m=\Gamma_{-m}$。 兩平面的夾角 $:=\arccos|\langle m,m'\rangle|$。
2. 主定理
2.1 定理. $m_3\neq0$ 時 $\pi(\Gamma_m)$ 是圓：
$$\boxed{\ c(m)=-\frac{m_1+im_2}{m_3},\qquad r(m)=\frac{1}{|m_3|}\ }$$
$m_3=0$ 時是過原點的直線 $m_1x+m_2y=0$。
證. $\langle\pi^{-1}(z),m\rangle=0$，去掉恆正分母： $$2xm_1+2ym_2+(|z|^2-1)m_3=0$$ $m_3\neq0$ 時除以 $m_3$、配方；唯一用到 $|m|=1$ 的一步是 $m_1^2+m_2^2=1-m_3^2$，它把右邊化成 $1/m_3^2$。$\blacksquare$
2.2 系（球座標）. $c=-e^{i\theta}\tan\varphi$，$r=\sec\varphi$（$\varphi<\tfrac\pi2$）。
2.3 系（充要刻畫）. 圓是某 $\Gamma_m$ 的像 $\iff r^2-|c|^2=1$；直線是 $\iff$ 過原點。 （$\Leftarrow$：取 $m_3=1/r$、$m_1+im_2=-cm_3$，則 $|m|=1$。） 所以圓心決定半徑：$r=\sqrt{1+|c|^2}$，大圓的像只需一個複數 $c$。
2.4 注. $m\to-m$ 同圓，對應 $2{:}1$；且 $\pi(-q)=-1/\overline{\pi(q)}$ （交叉相乘驗證：$(-q_1-iq_2)(q_1-iq_2)=-(1-q_3)(1+q_3)$）， 故 $r^2-|c|^2=1\iff$ 圓對 $z\mapsto-1/\bar z$ 不變。
2.5 注（共形性）. $\pi$ 保角（Ahlfors Ch.1 §2.4）。連同雙射性：球面的一切 幾何內容——哪些圓、交於何處、交角多大——都能在 $\mathbb C$ 上讀出。 實例：赤道與黃道的像在 $z=i$ 的交角算出 $23.439281°$，與 $\varepsilon$ 逐位相同。
3. 三個大圓與十二宮
3.1 赤道. $\varphi(e_3)=0$：$\ \Gamma_{e_3}:\ |z|=1$。
3.2 黃道. $n\in S^2$ 給定（黃道面法向量，取 $\langle n,e_3\rangle>0$）， $\varepsilon:=\arccos\langle n,e_3\rangle$ 即黃赤兩平面的夾角，故 $\varphi(n)=\varepsilon$。 約定取 $e_1$ 使 $\theta(n)=0$。由 2.2：
$$\Gamma_n:\quad |z+\tan\varepsilon|=\sec\varepsilon$$
3.3 春分點. 代 $|z|=1$ 入上式得 $x=0$：$\ \Gamma_{e_3}\cap\Gamma_n=\{\pm i\}$，取 $\gamma:=i$。
3.4 黃經與十二宮. $\gamma':=n\times\gamma$；黃道上點 $v$ 的黃經 $\lambda(v):=\operatorname{atan2}(\langle v,\gamma'\rangle,\langle v,\gamma\rangle)$（在 $\mathbb C$ 上 經 $\pi^{-1}$ 讀取）。十二宮 $=$ 商映射 $\varpi(\lambda)=\lfloor\lambda/30°\rfloor$。 球面上等分的十二宮，在 $\mathbb C$ 上弧長不等（比值最大 $2.18$）——球極投影不保長度，只保角。
3.5 地平圓族. 觀測者餘緯度 $\varphi$ 固定、經度 $\theta$ 隨自轉走：
$$\Gamma_{\theta,\varphi}:\quad |z+e^{i\theta}\tan\varphi|=\sec\varphi \qquad\big(=e^{i\theta}\cdot\Gamma_{0,\varphi}\big)$$
同一個圓繞原點轉；黃道就是 $(\theta,\varphi)=(0,\varepsilon)$ 那個成員。 退化：$\varphi\to0$ 給單位圓（北極，轉動無效）；$\varphi\to\tfrac\pi2$ 給過原點的直線（赤道上的觀測者）。
4. 交點
一般地取兩個大圓的像，圓心 $a\neq b$。由 2.3 兩方程都是
$$|z|^2-2\,\mathrm{Re}(\bar az)-1=0,\qquad |z|^2-2\,\mathrm{Re}(\bar bz)-1=0$$
相減，$|z|^2$ 與 $-1$ 同時消去——根軸恆過原點：$\mathrm{Re}\big((\bar b-\bar a)z\big)=0$， 即 $z=\tau\,i(b-a)$，$\tau\in\mathbb R$。代回第一式（記 $D=b-a$、$A=\mathrm{Im}(\bar ab)$； 注意 $\mathrm{Re}(\bar a\,iD)=-\mathrm{Im}(\bar aD)=-A$）：
$$|D|^2\tau^2+2A\tau-1=0$$
解出 $\tau$、化簡 $\bar D/|D|^2=1/D$：
$$\boxed{\ v_{1,2}=\frac{i\big(-A\pm\sqrt{A^2+|D|^2}\big)}{\overline D}\ ,\qquad D=b-a,\quad A=\mathrm{Im}(\bar ab)\ }$$
判別式恆正——兩個大圓恆交於兩點。韋達 $\tau_1\tau_2|D|^2=-1$ 給
$$v_1\overline{v_2}=-1\quad\Longleftrightarrow\quad v_2=-\frac1{\overline{v_1}}$$
由 2.4 這正是球面對徑：兩交點是 $S^2$ 上的一對對徑點（兩個二維子空間交於一維）。
4.1 特化. 黃道 $a=-\tan\varepsilon$、地平 $b=-e^{i\theta}\tan\varphi$： $D=b-a=\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{i\theta}$，故 $\overline D=\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{-i\theta}=:w$， $A=\mathrm{Im}(\bar ab)=\tan\varepsilon\tan\varphi\sin\theta=\tan\varepsilon\,\mathrm{Im}\,w$，
$$v_{1,2}=\frac{i\big(-\tan\varepsilon\,\mathrm{Im}\,w\pm\sqrt{\tan^2\varepsilon\,(\mathrm{Im}\,w)^2+|w|^2}\big)}{w}$$
4.2 具體數值. 工作值 $\tan\varepsilon:=0.435$（定義值，使 $2\tan\varepsilon=0.87$ 精確； 物理值 $0.4335528529$，差 $0.070°$）。精確地 $\tan^2\varepsilon=0.189225$； 無理數取 4 位：$\sec\varepsilon=1.0905$。
$$v_{1,2}=\frac{i\Big(-0.435\tan\varphi\sin\theta\pm\sqrt{\tan^2\varphi\,(1+0.189225\sin^2\theta)-0.87\tan\varphi\cos\theta+0.189225}\Big)}{0.435-\tan\varphi\,e^{-i\theta}}$$
| $\theta$ | $\varphi$ | $v_1$ | $v_2$ |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $20°$ | $i$ | $-i$ |
| $45°$ | $20°$ | $+0.5795+0.4000i$ | $-1.1688-0.8067i$ |
| $90°$ | $40°$ | $+0.6088+0.3156i$ | $-1.2946-0.6711i$ |
| $90°$ | $60°$ | $+0.6435+0.1616i$ | $-1.4619-0.3671i$ |
（$\theta\in\{0,\pi\}$ 時 $\mathrm{Im}\,w=0$，$v=\pm i$：兩圓心同在實軸，交點必在虛軸。 數值核對：560 組，$v_{1,2}$ 在兩圓上 $\le1.8\times10^{-15}$，$|v_1\bar v_2+1|\le10^{-15}$。）
5. 上升判準
主定理的證明其實給出了帶符號的高度：
$$\big\langle\pi^{-1}(z),\,p\big\rangle=\frac{\cos\varphi}{|z|^2+1}\Big(|z-c|^2-r^2\Big)$$
所以（$\varphi<\tfrac\pi2$）地平之上 $=$ 圓外，地平之下 $=$ 圓內。固定 $z$、讓 $\theta$ 走：
$$\partial_\theta|z-c_\theta|^2=2\tan\varphi\,\mathrm{Im}\big(e^{-i\theta}z\big)$$
$$\boxed{\ v\ \text{正在升起}\iff\mathrm{Im}\big(e^{-i\theta}v\big)>0\ }$$
兩交點中恰一個滿足（另一個正在下落）。上升點 $=v_1,v_2$ 中滿足判準的那個； 上升星座 $=\varpi(\lambda(\text{上升點}))$。 （與球面判準 $\partial_\theta\langle q,p\rangle>0$ 在 720 組測試全部同號。）
6. 上升點一天走多遠
6.0 問題從哪來
到 §5 為止，我們對每個瞬間 $\theta$ 算出了一個上升點 $v_1(\theta)$。但占星的核心經驗斷言不是 關於某一瞬間，而是關於一天：「一天之內十二個上升星座各輪值約兩小時」。這句話裡藏著一個 純數學命題——
$\theta$ 從 $0$ 走到 $2\pi$（一個自轉週期）時，$v_1$ 沿黃道走完整整一圈嗎？
這值得問，有三個理由。
- 它是十二宮輪值制的前提。 若答案是「不」，那麼在該地出生的人不可能取遍十二個上升 星座，「兩小時一宮」整套說法在那裡失效。
- 答案不是「總是」。 下面會看到它依賴緯度，臨界值恰是北極圈 $66.56°$。 ⚠ 這不是一個「可證偽的新預測」，是一個一致性檢查。 6.5 會看到，不能上升的那段黃經 正是極晝／極夜的那段——任何一本天文年曆都已經記著它。也就是說：任何幾何做對的理論 都會給出同一個答案，這件事通不過就會殺死理論，通過了卻不構成支持。本文一度把它寫成 「第一個可證偽的緯度依賴預測」，那是高估，已改。
- 它是離散的。 「走完幾圈」是整數，不會因為 $\varepsilon$ 的精確值、章動、光行差而改變。 §5 之前的一切都是連續量的估計，這裡第一次出現一個拓撲不變量——只要不跨過臨界緯度， 任何近似誤差都動不了它。
以下只用到已經在文中出現過的記號：$\varepsilon,\varphi,\theta,p,z,\pi,n,\Gamma_n,\gamma,\gamma',v_1,v_2$， 外加一個新記號 $F$，定義見 6.1——它就是「把 $v_1$ 看成 $z$ 的函數」這件事本身的名字。
6.1 觀測者的圓，以及 $F$. 由 1.2、1.3， $$\pi(p)=\frac{\sin\varphi\,e^{i\theta}}{1-\cos\varphi}=\cot\frac\varphi2\,e^{i\theta}$$ （8.2 已用同一個恆等式導出 Mercator 投影，這裡是它第二次出現）。令 $z:=\pi(p)$；固定 $\varphi$、 讓 $\theta$ 走一整圈，$z$ 就逆時針走一整圈 $|z|=\cot\frac\varphi2$。把 4.1 之後那個交點 $v_1$ 看成 $z$ 的函數，記 $F(z):=v_1$——這是本節要問繞數的對象。
6.2 判別式法. §4 把兩個大圓像的交點問題化成一個關於 $\tau$ 的二次方程 $|D|^2\tau^2+2A\tau-1=0$。它的判別式是
$$4A^2+4|D|^2$$
這是本節最直接的路線：$A^2+|D|^2$ 何時為零，就是要問的一切。 $A$ 是實數、$|D|^2$ 是 非負實數，兩個非負項的和為零，必須兩者都為零：$A=0$ 且 $D=0$。
$D=0$ 意味著什麼. $D=b-a$ 是兩個圓像的圓心之差，$D=0$ 即兩圓心重合；由 2.3「圓心決定 半徑」（$r=\sqrt{1+|c|^2}$），圓心相同必然半徑也相同——兩個圓其實是同一個圓。
判別式在這裡只有一種歸零方式. 一般兩條圓相切，判別式為零但圓心不同。但這裡兩個圓都是 大圓的像（2.1），而兩個相異的大圓——$\mathbb R^3$ 中過原點的兩個相異二維子空間——按維數公式 $\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)$，若 $U\neq V$ 則 $U+V$ 不能是二維（否則 $U=U+V=V$，矛盾），故 $\dim(U+V)=3$，$\dim(U\cap V)=1$：恰交於一條過原點的直線， 即 $S^2$ 上一對對徑點。兩個大圓永遠橫截相交於恰兩點，大圓相切這件事根本不存在。所以 判別式為零，在這個問題裡只可能是兩個大圓本來就是同一個大圓，沒有「真正相切」的中間情形。
套用到黃道與地平. 由 4.1，$D=\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{i\theta}$、 $A=\tan\varepsilon\tan\varphi\sin\theta$。$D=0$ 要求 $\tan\varphi\,e^{i\theta}$ 是正實數 （$\tan\varepsilon>0$）；$|e^{i\theta}|=1$ 恆成立，模為 $1$ 的正實數只有 $1$，故 $e^{i\theta}=1$，即 $\theta=0$，且此時 $\tan\varphi=\tan\varepsilon$。這時自動 $A=\tan\varepsilon\tan\varphi\sin0=0$——两個條件在此合一，不是巧合：
$$\boxed{\ A^2+|D|^2=0\iff\theta=0\ \text{且}\ \varphi=\varepsilon\ }$$
其餘所有 $(\theta,\varphi)$，$A^2+|D|^2>0$。
⚠ 這裡判別式為零不是「二重根」. 判別式為零通常意味著方程有二重根（兩根相等）。但 $D=0$ 使 $\tau$ 的二次項係數本身也消失，方程退化成 $2A\tau-1=0$；此處恰好同時 $A=0$， 於是方程變成 $-1=0$，無解——不是「兩根重合成一個有限值」，而是方程本身失效：因為 $z=\tau\cdot iD$ 在 $D=0$ 時對任何 $\tau$ 都給 $z=0$，根軸的整條直線退化成一個點， $\tau$ 這個參數化本身站不住。
數值核對這件事帶來什麼. 直接算 $\theta\to0^-$ 與 $\theta\to0^+$（緯度取臨界值）下 $v_1$ 的極限，兩側趨於不同的有限值： $$v_1(\theta\to0^+)\ \to\ \sec\varepsilon-\tan\varepsilon,\qquad v_1(\theta\to0^-)\ \to\ -(\sec\varepsilon+\tan\varepsilon)$$ （數值核對到 $10^{-9}$）。這兩個數恰是黃道圓 $|z+\tan\varepsilon|=\sec\varepsilon$ 與實軸的 兩個交點——圓心 $-\tan\varepsilon$ 加減半徑 $\sec\varepsilon$。而且它們正好滿足 §4 的 $v_1\overline{v_2}=-1$（此處為實數，即 $v_1v_2=-1$： $(\sec\varepsilon-\tan\varepsilon)\cdot\big(-(\sec\varepsilon+\tan\varepsilon)\big) =-(\sec^2\varepsilon-\tan^2\varepsilon)=-1$）。也就是說：**$\theta$ 跨過 $0$ 的瞬間， "$v_1$" 這個標籤跳到了 $v_2$ 原本所在的位置，兩者互換**——不是相切、不是二重根收斂到一點， 是兩個一直存在的有限值互換身份。這正是「方程本身失效」而非「二重根」的具體樣子。
判別式法的邊界，也是這一節存在的理由. 判別式法乾淨、初等，不需要輻角原理、不需要延拓、 不需要繞數——之所以夠用，是因為大圓相交的結構特別簡單（永遠橫截兩點，不會相切）。但它只回答 「$Q$ 何時為零」，答不出「$\theta$ 走一整圈時 $F$ 繞了幾圈」——這是一個依賴 $\theta$ 整條路徑、 而非單一瞬間代數條件的量。6.3 用輻角原理回答這個問題；那條路線更重的原因，正是它在回答一個 判別式法原則上答不出的問題，也是能推廣到「真有相切」或維度更高、判別式不再簡單分解成兩個 平方和的一般情形的版本。
6.3 $F$ 的繞數. 4.1 的公式已經完全寫成 $\tan\varepsilon,\tan\varphi,\theta$ 的式子： $$v_1=\frac{i\Big(-\tan\varepsilon\tan\varphi\sin\theta +\sqrt{\tan^2\varepsilon\tan^2\varphi\sin^2\theta+\big|\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{i\theta}\big|^2}\Big)} {\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{-i\theta}}$$ 根號下的量比 $(\tan\varepsilon\tan\varphi\sin\theta)^2$ 多出 $\big|\tan\varepsilon-\tan\varphi e^{i\theta}\big|^2>0$ （$\theta=0$ 且 $\tan\varphi=\tan\varepsilon$ 那個退化點除外），故根號嚴格大於 $|\tan\varepsilon\tan\varphi\sin\theta|$： 分子恆為 $i$ 乘一個正實數。所以
$$\arg F=\frac\pi2-\arg\big(\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{-i\theta}\big).$$
在 $|z|=\cot\frac\varphi2$ 上 $e^{-i\theta}=\cot\frac\varphi2/z$，代入：
$$\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{-i\theta}=\frac{z\tan\varepsilon-\tan\varphi\cot\frac\varphi2}{z}\ .$$
右邊是 $z$ 的有理函數：分子的零點在 $z=\tan\varphi\cot\frac\varphi2/\tan\varepsilon$，分母的零點 （即這個有理函數的極點）在 $z=0$。它與左邊在觀測者圓上逐點相等，所以兩者是同一條曲線， 繞數相同；右邊的繞數由輻角原理給出（Ahlfors Ch.4 §5.2：$f$ 在含閉曲線及其內部的區域上亞純， 閉曲線簡單、正向，且 $f$ 在其上無零點極點，則 $n(f\circ\gamma,0)=$ 零點數 $-$ 極點數，計重數）。 逐條核對：有理函數在任何有界區域上亞純；觀測者圓簡單、正向（$\theta$ 遞增時 $z$ 逆時針）； 極點 $z=0$ 恆在圓內；零點落在圓上唯一的可能是
$$\frac{\tan\varphi\cot\frac\varphi2}{\tan\varepsilon}=\cot\frac\varphi2 \iff\tan\varphi=\tan\varepsilon,$$
即臨界緯度，之外四條假設全部成立。零點在圓內 $\iff\tan\varphi<\tan\varepsilon$，於是零點數減極點數 是 $0-1=-1$（$\tan\varphi>\tan\varepsilon$）或 $1-1=0$（$\tan\varphi<\tan\varepsilon$）， 即 $\arg\big(\tan\varepsilon-\tan\varphi e^{-i\theta}\big)$ 一整圈的淨變化。$F$ 的輻角淨變化差一個負號：
$$\boxed{\ \tan\varphi>\tan\varepsilon\ (\text{緯度}<66.56°):\ F\ \text{繞原點一圈}\ ;\qquad \tan\varphi<\tan\varepsilon\ (\text{緯度}>66.56°):\ \text{繞數}=0\ }$$
由 3.2，黃道的像是 $|z+\tan\varepsilon|=\sec\varepsilon$；因 $\tan\varepsilon<\sec\varepsilon$，原點在其內部， 故繞原點的圈數就是 $F$ 繞黃道的圈數。臨界緯度 $\tan\varphi=\tan\varepsilon$ 換成觀測者圓的半徑， 正是 $\cot\frac\varphi2=\cot\frac\varepsilon2=\pi(n)$——黃極的像。幾何判準：$F$ 一天繞黃道一圈 $\iff$ 觀測者圓不圈住黃極的像。
上面那個有理函數是唯一的. 若另有亞純函數在觀測者圓上取相同值，兩者在一個有聚點的集合 （整個圓）上相等，由恆等定理（Ahlfors Ch.4 §3.2）處處相等——沒有「選了一個延拓」這回事。
（數值：$\arg F$ 與上式右邊的輻角在七個緯度上吻合到 $7\times10^{-15}$；零點數減極點數與數值 積分的繞數在同樣七個緯度上吻合。）
6.4 $F$ 本身沒有這樣的延拓，但不需要. 若整個 $F$（不只它的輻角）在觀測者圓上等於某個 亞純函數，那個根號本身也要延拓；兩邊平方、再用恆等定理，根號下的量就得處處等於某亞純函數的 平方。但那是 $z$ 的有理函數，分子是四次式且四根相異（符號與數值驗證），不是任何函數的平方， 矛盾——延拓不存在。但這不影響 6.3：正實數那個因子對輻角沒有貢獻，真正延拓的只是分母的倒數， 就是 6.3 用到的那一半。
$F$ 作為 $z$（不限於同一觀測者圓，跨緯度）的函數也不是全純的：地平圓心 $c(z)=\dfrac{2z}{1-|z|^2}$（由 2.1 取 $m=p$、代入 1.2）， $\dfrac{\partial c}{\partial\bar z}=\dfrac{2z^2}{(1-|z|^2)^2}\neq0$（$z\neq0$）。等價地：$F$ 的像落在 黃道的像（一個圓）上，圓在 $\mathbb C$ 中內部為空，而非常數全純映射的像必須是開集（開映射定理， Ahlfors Ch.4 §3.3 推論）——矛盾，$F$ 非全純。6.3 之所以能在同一個觀測者圓上化簡成有理函數， 是因為固定 $|z|$ 時 $1-|z|^2$ 是常數，$c(z)$ 在那個圓上退化成線性；離開那個圓，簡化不再成立。
6.5 極區：折疊，以及 $v_1$ 不是「上升點」. $\tan\varphi<\tan\varepsilon$ 時， $\tan\varepsilon-\tan\varphi\,e^{-i\theta}$ 畫的圓（心 $\tan\varepsilon$、半徑 $\tan\varphi$）不含原點， 輻角被夾在從原點看過去的兩條切線之間：
$$\Big|\arg F-\frac\pi2\Big|\ \le\ \arcsin\frac{\tan\varphi}{\tan\varepsilon},$$
等號恰在 $\cos\theta=\tan\varphi/\tan\varepsilon$ 取到，且 $\arg F$ 在兩個切點之間的每一段都嚴格 單調——$F$ 折疊，一天內把黃道上的一段弧來回掃兩次。換成黃經（3.4 對 $\gamma,\gamma'$ 的定義）： 黃道上一點的像滿足 $\tan(\arg z)=-\cot(\text{黃經})/\cos\varepsilon$，代入上式兩端給出
$$\boxed{\ |\sin(\text{黃經})|\ \le\ \frac{\sin\varphi}{\sin\varepsilon}\ }$$
$\sin$（與 $\tan$）週期 $180°$，這一條不等式已經同時圈出以春分點與秋分點為中心的兩段弧； 禁區以二至點為中心。記禁區的半寬為 $\Lambda$，即 $\sin\Lambda=\sin\varphi/\sin\varepsilon$。
6.5.1 這一段其實就是極晝與極夜. 上式有一個兩行的初等推導，完全不用前面任何複分析： 黃經 $\lambda$ 的黃道點，其赤緯 $\delta$ 滿足 $\sin\delta=\sin\varepsilon\sin\lambda$（球面直角 三角形）。它在餘緯度 $\varphi$ 處拱極（永不穿越地平圈）的條件是 $|\delta|>\varphi$；而永不 穿越地平圈的點，當然永遠不可能是「正在升起」的那一點。故可作上升點的黃經恰為 $|\sin\varepsilon\sin\lambda|\le\sin\varphi$，即上面那條不等式。
而太陽就坐落在某個黃經上，所以：
不能上升的那段黃經，正是太陽走到那裡時該地出現極晝（永不落下那半段）或極夜 （永不升起那半段）的黃經。
臨界緯度 $\varphi=\varepsilon$ 也因此不是什麼發現——北極圈的定義就是 $90°-\varepsilon$。 數值對照（不含大氣折射與日輪半徑，實際觀測到的極晝會比下表長幾天）：
| 緯度 | $\Lambda$ | 永不落下的黃經段 | 對應的極晝日期（約） |
|---|---|---|---|
| $67°$N | $79.20°$ | $(79.2°,\ 100.8°)$ | 6 月 8 日 – 6 月 30 日 |
| $70°$N | $59.30°$ | $(59.3°,\ 120.7°)$ | 5 月 19 日 – 7 月 20 日 |
| $75°$N | $40.59°$ | $(40.6°,\ 139.4°)$ | 4 月 30 日 – 8 月 8 日 |
| $80°$N | $25.88°$ | $(25.9°,\ 154.1°)$ | 4 月 15 日 – 8 月 23 日 |
⚠ 由此必須修正 6.0 的一個說法. 這條結果不是本理論的可證偽新預測，而是一致性檢查： 任何幾何做對的理論都會給出同一段黃經，年曆早就記著它。它有價值（通不過就會殺死理論）， 但不構成對理論的支持。真正不能由「拱極」初等論證得到、只有 6.3–6.5 的機器才給得出的是： 繞數這個整數（中低緯恰好一圈）、折疊的 $2{:}1$ 結構與轉折點 $\cos\theta=\tan\varphi/\tan\varepsilon$、 以及兩段弧在 $\varphi=\varepsilon$ 恰好併攏的連續性。
6.5.2 哪些宮整段不能上升. 禁區以 $\lambda=270°$（冬至點）為中心，而 $270°$ 恰是 射手／摩羯的宮界——所以最先被整段吞掉的必然是跨在冬至點兩側的那一對。一個 $30°$ 的宮 整段落進禁區的條件是 $\Lambda\le60°$，即
$$\sin\Lambda=\frac{\sin\varphi}{\sin\varepsilon}\le\sin60° \quad\Longrightarrow\quad \text{緯度}\ \ge\ 69.85°\mathrm{N}.$$
| 緯度門檻 | 新增的「整宮不能上升」 | 可作上升的宮數 |
|---|---|---|
| $69.85°$N | 射手、摩羯（永不升起）；對徑的雙子、巨蟹（永不落下） | $12\to8$ |
| $78.53°$N | 天蠍、水瓶；對徑的金牛、獅子 | $8\to4$ |
| $90°$（極點） | 只剩二分點兩個點（地平圈退化成赤道） | $4\to$ 退化 |
$78.53°$N 已在斯瓦爾巴（Longyearbyen 約 $78.2°$N）的緯度上。
⚠ 「極夜起始宮」與「整宮不上升」只在門檻緯度重合. 極夜開始的瞬間，太陽在 $\lambda=180°+\Lambda$，那是禁區的邊緣而非內部。在 $69.85°$N（$\Lambda=60°$）極夜恰好在 太陽踏進射手座（$\lambda=240°$）那一刻開始，兩者重合；再往北 $\Lambda$ 變小、極夜提前， 太陽還在天蠍座時極夜就來了，但此時天蠍只是部分不能上升，整宮不能上升的仍是射手與摩羯。
⚠ 這裡 $F=v_1$，不是「上升點」。 上升點是 $v_1,v_2$ 之間由 §5 判準逐時刻挑出的那個， 兩者互為對徑（§4）。中低緯二者選哪個不影響繞數；極區則每天換手兩次，「上升點」作為 $\theta$ 的函數因此不連續（角色跳動，曲線本身連續——見 6.4）。可達黃經是上面那條弧加上它的對徑弧， 已經包含在 $\tan$ 的週期性裡，無需另外處理。真正被 6.3–6.4 的繞數論證約束的只有 $v_1$；把可達 星座數換算成 $360°/30°$ 商映射（3.4）是報告層的事，不改變上面的不等式。
記號對照. $\varphi$ 是餘緯度：$\varphi<\varepsilon$（餘緯度小）即極區（緯度 $>66.56°$）。
7. 回歸現實
7.1 字典. 理論變數 $\to$ 真實輸入只差三行：
$$\varphi=90°-\text{緯度},\qquad \theta=\mathrm{LST}+90°,\qquad \mathrm{LST}=\mathrm{GMST}(t_{UT})+\text{東經}$$
（$+90°$ 來自約定 $\gamma=+i$：春分方向在本標架的方位角是 $90°$。 ⚠ 這是兩套約定間最容易踩的坑：漏掉它會讓所有結果整體錯位 $180°$。） 太陽黃經 $\lambda_\odot$ 用標準級數（平黃經 + 中心方程）。
7.2 世界地圖就是複平面. 極球面投影圖（UPS）$=\mathbb C$；最常見的 Mercator 是它的 $\log$（精確：$z=\cot\frac\varphi2e^{i\theta}\Rightarrow\log z=\ln\cot\frac\varphi2+i\theta$， 實部恰為 Mercator 縱座標，虛部為經度；誤差 $2.8\times10^{-14}$）。兩者都共形。 黃道在 Mercator 上的振幅 $=\ln\cot\frac{66.56°}2=0.42101$，恰好卡在南北回歸線之間。
7.3 北京算例（1993-03-03，UTC+8）. 太陽黃經 $342.59°$ → 太陽星座雙魚 12.59°（整天不變）。 上升星座隨出生時刻跑完整一圈：
| 出生時刻 | 00:00 | 04:00 | 08:00 | 12:00 | 16:00 | 20:00 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上升黃經 | $233.0°$ | $285.4°$ | $12.2°$ | $88.7°$ | $138.3°$ | $186.1°$ |
| 上升星座 | 天蠍 | 摩羯 | 牡羊 | 雙子 | 獅子 | 天秤 |
各星座停留 72–156 分鐘（比值 2.17）——上升點速度不均，這正是 §3.4 弧長不均的時間版本。
20:00 那一刻的完整圖像——地平大圓刮過黃道，東側交點就是上升點：
7.4 與現行工具的比對.
- 中低緯（$|$緯度$|<66.56°$）：本理論的判準式與占星軟體通用的標準閉式 $\lambda_{ASC}=\operatorname{atan2}(\cos\text{lat}\cos\mathrm{LST},\,-\sin\varepsilon\sin\text{lat}-\cos\varepsilon\cos\text{lat}\sin\mathrm{LST})$ 在 730 組抽樣上逐位一致（$\le1.3\times10^{-12}$ 度）。台北算例（1990-07-15 08:30） 兩者同給巨蟹 22.29°/處女 4.44°，與線上星盤一致。
- 極區：標準閉式在 21.5% 的時刻回傳的是下落點（與真上升點差恰好 $180°$）—— 它是連續分支，不帶升落判準。本理論的 §5 判準逐時刻挑出真正升起的那一支。 這是 §6 繞數分析的直接後果，也是本做法對現行工具的實質改進。
- 界限（誠實聲明）：本文太陽黃經用低階級數（$\sim0.01°$），未含章動/光行差 （$\sim0.005°$）；出生於宮界 $\pm1'$ 內的判定需換高精度星曆，但幾何框架不變。
7.5 工具. 互動地球儀 是 §2–§5 公式的直接實作：可拖曳的 3D 地球、北投影與南投影兩個複平面、以及 Mercator 世界地圖（$=\log$，§7.2），四個視圖畫的是同一組物件。
它刻意把整條推導鏈（JD → GMST → LST → $\theta,\varphi$ → $c,r$ → $D,A$ → $v_1,v_2$ → 判準 → $\lambda$ → 宮）的每一個中間值都印在畫面上，並讓兩個不變量 $r^2-|c|^2=1$、$v_1\overline{v_2}=-1$ 實時跑著——螢幕上沒有任何一個數是必須「請相信我」的。
附錄 A：對照表
| 數學 | 天文/現實 |
|---|---|
| $e_3$；$\Gamma_{e_3}:\vert z\vert=1$ | 自轉軸；天赤道 |
| $n$；$\Gamma_n:\vert z+\tan\varepsilon\vert=\sec\varepsilon$ | 黃道面法向量；黃道 |
| $\varepsilon$、$\gamma=i$ | 黃赤交角、春分點 |
| $\theta=\mathrm{LST}+90°$、$\varphi=90°-\text{lat}$ | 恆星時、緯度 |
| $\Gamma_{\theta,\varphi}$；圓外/圓內 | 地平圈；地平之上/之下 |
| $v$ 滿足 $\mathrm{Im}(e^{-i\theta}v)>0$ | 上升點 |
| $\varpi\circ\lambda$ | 十二宮報告 |
| $\log$（全純） | Mercator 世界地圖 |
附錄 B：$\mathbb R^3$ 版本（一句話）
不投影也可以：$v=\dfrac{n\times p}{|n\times p|}$ 一步給出交點（含對徑對）， $\lambda=\operatorname{atan2}(\langle v,\gamma'\rangle,\langle v,\gamma\rangle)$。單一時刻它更短； 複平面的價值在 $\theta$ 的整體行為（§6：上升點一天繞幾圈、臨界緯度），那在 $\mathbb R^3$ 裡看不見。
附錄 C：被反例推翻的路（保留作為「為什麼對」的證明）
- 跟法向量取內積——恆零（點就在那平面上）。
- 加 $\arccos$——$\arccos(0)=90°$ 仍是常數。
- 跟單一參考點取內積——$\cos60°=\cos300°$，丟方向。
- 把 $d_{FS}(a,b)$ 當 $\langle m_a,m_b\rangle$——圓心不是圓的原像。
- 「$\pm$ 分支不能連續分離」——錯，$v_1$ 恆連續；不連續的是「上升」這個角色（§6）。
共同教訓：拿到公式先問「對我們關心的那個點，它是否退化」； 同一字母的兩種角色（緯度/餘緯度、點/圓心）先寫清楚是哪一種再算。